题目

如图1，点C、B分别为抛物线C1：y1=x2+1，抛物线C2：y2=a2x2+b2x+c2的顶点．分别过点B、C作x轴的平行线，交抛物线C1、C2于点A、D，且AB=BD．【小题1】求点A的坐标：【小题2】如图2，若将抛物线C1：“y1=x2+1”改为抛物线“y1=2x2+b1x+c1”．其他条件不变，求CD的长和a2的值；【小题3】如图2，若将抛物线C1：“y1=x2+1”改为抛物线“y1=4x2+b1x+c1”，其他条件不变，求b1+b2的值　2　（直接写结果）． 答案：【小题1】如图，连接AC、BC，设直线AB交y轴于点E，∵AB∥x轴，CD∥x轴，C、B为抛物线C1、C2的顶点，∴AC=BC，BC=BD，∵AB=BD，∴AC=BC=AB，∴△ABC是等边三角形，∴∠ACE=30°，设AE=m，则CE=AE=m，∵y1=x2+1，∴点C的坐标为（0，1），∴点A的坐标为（﹣m，1+m），∵点A在抛物线C1上，∴（﹣m）2+1=1+m，整理得m2﹣m=0，解得m1=，m2=0（舍去），∴点A的坐标为（﹣，4）；（3分）【小题2】如图2，连接AC、BC，过点C作CE⊥AB于点E，设抛物线y1=2x2+b1x+c1=2（x﹣h1）2+k1，∴点C的坐标为（h1，k1），设AE=m，∴CE=m，∴点A的坐标为（h1﹣m，k1+m），∵点A在抛物线y1=2（x﹣h1）2+k1上，∴2（h1﹣m﹣h1）2+k1=k1+m，整理得，2m2=m，解得m1=，m2=0（舍去），由（1）同理可得，CD=BD=BC=AB，∵AB=2AE=，∴CD=，即CD的长为，根据题意得，CE=BC=×=，∴点B的坐标为（h1+，k1+），又∵点B是抛物线C2的顶点，∴y2=a2（x﹣h1﹣）2+k1+，∵抛物线C2过点C（h1，k1），∴a2（h1﹣h1﹣）2+k1+=k1，整理得a2=﹣，解得a2=﹣2，即a2的值为﹣2；（3分）【小题3】根据（2）的结论，a2=﹣a1，CD=﹣﹣（﹣）=+=，根据（1）（2）的求解，CD=2×，∴b1+b2=2．（4分）解析:（1）连接AC、BC，根据二次函数图象的对称性可得AC=BC，BC=BD，再根据已知条件AB=BD，可以证明得到△ABC是等边三角形，所以∠ACE=30°，然后设AE=m，根据等边三角形的性质求出CE的长，再根据抛物线C1：y1=x2+1求出点C的坐标，从而表示出点A的坐标，然后把点A的坐标代入抛物线C1的解析式，然后解关于m的一元二次方程求出m的值，代入即可得到点A的坐标；（2）过点C作CE⊥AB于点E，设抛物线y1=2x2+b1x+c1=2（x﹣h1）2+k1，然后表示出C的坐标，再设AE=m，根据等边三角形的性质求出CE的长度，从而得到点A的坐标，把点A的坐标代入抛物线C1，整理后解关于m的一元二次方程，再根据（1）的结论即可求出CD的长；根据CD的长求出CE的长度，然后表示出点B的坐标，根据点B在是抛物线C2的顶点，从而得到抛物线C2的顶点式解析式，然后根据点C在抛物线C2上，把点C的坐标代入抛物线C2的解析式，整理求解即可得到a2的值；（3）根据（1）（2）的结论可知，a2=﹣a1，然后利用两抛物线的对称轴表示出CD的长度，再根据（1）（2）的求解过程可得CD=2×，然后代入进行计算即可得解．

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