题目

已知x1,x2(x1<x2)是函数f(x)=ex+ln(x+1)-ax(a∈R)的两个极值点.(1)求a的取值范围;(2)证明:f(x2)-f(x1)<2ln a. 答案：解(1)由题意得f'(x)=ex+-a,x>-1,令g(x)=ex+-a,x>-1,则g'(x)=ex-, 令h(x)=ex-,x>-1,则h'(x)=ex+>0, ∴h(x)在(-1,+∞)上递增,且h(0)=0, 当x∈(-1,0)时,g'(x)=h(x)<0,g(x)递减; 当x∈(0,+∞)时,g'(x)=h(x)>0,g(x)递增, ∴g(x)≥g(0)=2-a. ①当a≤2时,f'(x)=g(x)≥g(0)=2-a≥0,f(x)在(-1,+∞)递增,此时无极值; ②当a>2时,∵g-1=>0,g(0)=2-a<0, ∴∃x1∈-1,0,g(x1)=0, 当x∈(-1,x1)时,g(x)=f'(x)>0,f(x)递增; 当x∈(x1,0)时,g(x)=f'(x)<0,g(x)递减; ∴x=x1是f(x)的极大值点; ∵g(lna)=>0,g(0)=2-a<0, ∴∃x2∈(0,lna),g(x2)=0. 当x∈(0,x2)时,g(x)=f'(x)<0,f(x)递减;当x∈(x2,+∞)时,g(x)=f'(x)>0,f(x)递增,∴x=x2是f(x)的极小值点; 综上所述,a∈(2,+∞). (2)证明由(1)得a∈(2,+∞),-1<x1<0<x2<lna, 且g(x1)=g(x2)=0, ∴x2-x1>0,<x1+1<1,1<x2+1<1+lna, , -a<0, 1<<a(1+lna)<a2, ∴f(x2)-f(x1)=+ln-a(x2-x1) =(x2-x1)-a+ln<lna2=2lna.

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