题目

已知抛物线 的焦点为 F ，准线为 ，点 P 是抛物线 C 上的动点 . (1) 若 P 在直线 上的投影为 ，且 为等边三角形，求点 P 的坐标 . (2) 过点 P 作直线 分别交直线 于 A ， B ，若 的内心恰为原点 O ，求 面积的取值范围 . 答案： (1) (2) 【解析】 【分析】 （ 1 ）由题意可知， 的坐标为 ， 平行于 x 轴，可设 ， ，由于 为等边三角形，可知 ，根据两点之间的坐标公式，列出方程，即可求出 的坐标； （ 2 ）设 ，由于 的内心恰为原点 O ，可知 ，设 ， 的方程分别为 ， 由于若 的内心恰为原点 O ，所以原点 到 和 的距离为 ，根据点到直线的距离公式，可得 是关于 k 的方程 的两根，由韦达定理可知 ，再根据 的面积为 ，再利用换元法，根据二次函数的单调性，即可求出结果 . (1) 解：由题意可知， 的坐标为 ， 平行于 x 轴， 的横坐标为 ， 设 ， ， 为等边三角形， ， 即 ，解得： . 的坐标为 . (2) 解：设 ，则 的方程为 . 由于 的内心恰为原点 O ，且过点 P 作直线 分别交直线 于 A ， B ， 所以从 作单位圆的切线，即 ，其与直线 交于 A ， B 两点， 则 A ， B 两点须一个在 轴上方，一个在 轴下方，所以 ， 原点 到 的距离为 1 ，所以有 ， 整理得 . 再设 的方程为 ，同理可得 . 是关于 k 的方程 的两根， . 的面积为 ， 令 ，则 ， 再令 ，则 由 ，可知 在 上单调递增，所以 的范围为 ， 所以 的范围为 .

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