题目

已知函数f(x)=loga,(a＞0且a≠1).(Ⅰ)判定f(x)的单调性，并证明；(Ⅱ)设g(x)=1+loga(x-1)，若方程f(x)=g(x)有实根，求a的取值范围；(Ⅲ)求函数h(x)=f(x)lna+ln(x+3)-在[4,6]上的最大值和最小值. 答案：解：（Ⅰ）由＞0,得x＜-3或x＞3,    任取x1＜x2＜-3.    则f(x1)-f(x2)=loga-loga=loga.∵(x1-3)(x2+3)-(x1+3)(x2-3)=10(x1-x2)＜0，    又(x1-3)(x2+3)＞0且(x1+3)(x2-3)＞0，0＜＜1,∴当a＞1时,f(x1)-f(x2)＜0,∴f(x)单调递增，    当0＜a＜1时，f(x1)-f(x2)＞0,∴f(x)单调递减.（Ⅱ）若f(x)=g(x)有实根，即：loga =1+loga(x-1).∴x＞3.∴即方程：=a(x-1)有大于3的实根.a=(∵x＞3)=≤.“=”当且仅当x-3=即当x=3+2时成立，∴a∈(0,).(Ⅲ)h(x)=f(x)lna+ln(x+3)-=ln(x-3)-.h′(x)=,由=0有x2-3x-4=0,解得x1=4;x2=-1(舍去).    当x∈[4,6]时，h′(x)＜0,h(x)单调递减；    所以函数h(x)在[4,6]上的最小值为h(6)=ln3-4，最大值为h(4)=-2.

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