题目

如图，在三棱锥中，，，，． （Ⅰ）求证； （Ⅱ）求二面角的大小； （Ⅲ）求点到平面的距离． 答案：（Ⅰ）略，（Ⅱ），（Ⅲ） 解析:解法一 （Ⅰ）取中点，连结． ， ． ， ． ， 平面． 平面， ． （Ⅱ），， ． 又， ． 又，即，且， 平面． 取中点．连结． ，． 是在平面内的射影， ． 是二面角的平面角． 在中，，，， ． 二面角的大小为． （Ⅲ）由（Ⅰ）知平面， 平面平面． 过作，垂足为． 平面平面， 平面． 的长即为点到平面的距离． 由（Ⅰ）知，又，且， 平面． 平面， ． 在中，，， ． ． 点到平面的距离为． 解法二 （Ⅰ），， ． 又， ． ， 平面． 平面， ． （Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系． 则． 设． ， ，． 取中点，连结． ，， ，． 是二面角的平面角． ，，， ． 二面角的大小为． （Ⅲ）， 在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离． 如（Ⅱ）建立空间直角坐标系． ， 点的坐标为． ． 点到平面的距离为．

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