题目

在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别是a、b、c，且c=10，cosA∶cosB=b∶a=4∶3，P为△ABC的内切圆上的动点，求点P到顶点A、B、C的距离的平方和的最大值与最小值. 答案：解析:本题与三角函数有一定的联系,题目出现在这里,也是对于前面所学知识的复习,也和曲线的参数方程联系起来了,由此也可以看出数学知识间的联系,具有一定程度的综合性.解:由cosA∶cosB=b∶a,得sin2A=sin2B,因为a≠b,A≠B,所以2A=π-2B,即A+B=.由此可知△ABC为直角三角形.又c=10,b∶a=4∶3,a2+b2=c2,可得a=6,b=8.故其内切圆半径为r==2.以顶点C为原点、CA所在直线为x轴（其中点A处于x轴正半轴上,点B位于纵轴的正半轴上）,则CB的相应内切圆的参数方程为则该圆上的动点P的坐标为(2+2cosθ,2+2sinθ),PA2+PB2+PC2=(2cosθ-6)2+(2+2sinθ)2+(2+2cosθ)2+(2sinθ-4)2+(2+2cosθ)2+(2+2sinθ)2=80-8cosθ,故所求的最大值与最小值分别为88、72.

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