题目

过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作倾斜角为θ的直线l.设l交抛物线于A、B两点.求：（1）|AB|；（2）|AB|的最小值. 答案：思路分析：直线与二次曲线方程组成方程组，结合韦达定理、弦长公式或用焦半径公式表示出|AB|，对|AB|最小值的考查，要求对三角函数知识应熟练掌握.解：（1）当θ=90°时，直线AB的方程为 x=.由得A（,-p），B（,p）.∴|AB|=2p.当θ≠90°时，直线AB的方程为y=（x-）tanθ.由得tan2θ·x2-（2p+ptan2θ）x+·tan2θ=0.设A（x1,y1），B（x2,y2）,则x1+x2=，∴|AB|=x1++x2+=p+=.（2）由（1）知，当θ=90°时，|AB|最小值为2p.温馨提示求过抛物线焦点的弦长问题，一般是把弦分成两条焦半径利用焦半径公式结合韦达定理来求.过焦点的最短弦（与对称轴垂直）是抛物线的通径.

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