题目

已知数列{an}中，a1=a(a＞2)，对一切n∈N*，an＞0，an+1=.（1）求证：an＞2且an+1＜an;（2）证明a1+a2+…+an＜2(n+a-2). 答案：证明:（1）证法一：an+1=＞0，∴an＞1.∴an-2=-2=≥0.∴an≥2，若存在ak=2,则ak-1=2,由此可推出ak-2=2,…,a1=2,此与a1=a＞2矛盾，故an＞2.∵an+1-an=＜0，∴an+1＜an.证法二：（用数学归纳法证明an＞2）,①当n=1时，因a1=a＞2,故命题an＞2成立；②假设n=k时命题成立，即ak＞2,那么,ak+1-2=，所以ak+1＞2，即n=k+1时命题也成立.综上所述，命题an＞2对一切正整数成立.an+1＜an的证明同上.（2）由题（1）得an-2=,∴an-2＜＜…＜(n≥2).∴(a1-2)+(a2-2)+…+(an-2)≤(a-2)(1+++…+)=(a-2)=2(a-2)(1-)＜2(a-2).∴a1+a2+…+an＜2(n+a-2).温馨提示用数学归纳法证明不等式,关键是在证明n=k+1时命题成立.从n=k+1的待证不等式的一端“拼凑”出归纳假设不等式的一端，再运用归纳假设即可.

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