题目

已知等比数列{an}的公比是q,前n项和是Sn,是否存在常数c,使得数列{Sn+c}也成等比数列？若存在,求出c的值；若不存在,请说明理由. 答案：思路解析:本题涉及前n项和是Sn,容易想到将其表示出来,但形式很复杂,不利于计算,要求使数列{Sn+c}也成等比数列的c的值,如果直接根据等比数列的定义来判断,显然也会很麻烦,此时可以先寻找使数列{Sn+c}也成等比数列的必要条件,即先考虑使前三项成等比数列的相应的c值,然后再检验当c取这些值时是否能保证题意满足.解:假设存在常数c,使得数列{Sn+c}也成等比数列,则有(S1+c)(S3+c)=(S2+c)2.当q=1时,由(S1+c)(S3+c)=(S2+c)2,得(a1+c)(3a1+c)=(2a1+c)2,即a12=0,a1=0这与a1≠0矛盾,故当q=1时,不存在满足题意的常数c；当q≠1时,由(S1+c)(S3+c)=(S2+c)2,得(a1+c)［a1(1+q+q2)+c］=［a1(1+q)+c］2,由此解得c=(q≠1),且当c=(q≠1)时,Sn+c=≠0,=q(q是不为零的常数),数列{Sn+c}也成等比数列.

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