题目

（本小题满分12分） 如图，在直四棱柱中，，，，为中点，点在上. (1)试确定点的位置，使； (2)当时，求二面角的正切值. 答案：解法一：（1）连结AM，AC，B1M，AB＝BC，∠ABC＝60°⇒△ABC为正三角形. ⇒MN⊥面AB1M⇒MN⊥B1M.…………3分 ⇒⇒＝＝⇒NC＝. 即点N的位置在线段CC1的四等分点且靠近C处.　　　………………………6分 (2)过M作ME⊥AB1于E，连NE.由(1)知MN⊥面AB1M，∴NE⊥AB1(三垂线定理). ∴∠MEN为二面角M—AB1—N的平面角.          　　　………………9分 MN＝＝，AM＝·2＝，B1M＝，AB1＝2. 在Rt△AB1M中，ME＝＝. 在Rt△EMN中，tan∠MEN＝＝. ∴二面角M—AB1—N的正切值为.         　　　……………………12分 解法二：(1)分别以BC，BB1所在直线为轴，过B且与BC垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则. .即点N所在位置在比线段CC1的四等分点且靠近C点处. (2) 设是平面NAB1的一个法向量 ，则 ， 同理可得平面MAB1的法向量  ， ，所以二面角 M—AB1—N的正切值为.

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