题目

如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CO⊥AB于点O，点D、E分别在边AC、BC上，且AD=CE，连结DE交CO于点P，给出以下结论： ①△DOE是等腰直角三角形；②∠CDE=∠COE；③若AC=1，则四边形CEOD的面积为；④AD2+BE2﹣2OP2=2DP•PE，其中所有正确结论的序号是　　　　　　． 　 答案：①②③④　． 【考点】勾股定理；四点共圆． 【分析】①正确．由ADO≌△CEO，推出DO=OE，∠AOD=∠COE，由此即可判断． ②正确．由D、C、E、O四点共圆，即可证明． ③正确．由S△ABC=×1×1=，S四边形DCEO=S△DOC+S△CEO=S△CDO+S△ADO=S△AOC=S△ABC即可解决问题． ④正确．由D、C、E、O四点共圆，得OP•PC=DP•PE，所以2OP2+2DP•PE=2OP2+2OP•PC=2OP（OP+PC）=2OP•OC，由△OPE∽△OEC，得到=，即可得到2OP2+2DP•PE=2OE2=DE2=CD2+CE2，由此即可证明． 【解答】解：①正确．如图，∵∠ACB=90°，AC=BC，CO⊥AB ∴AO=OB=OC，∠A=∠B=∠ACO=∠BCO=45°， 在△ADO和△CEO中， ， ∴△ADO≌△CEO， ∴DO=OE，∠AOD=∠COE， ∴∠AOC=∠DOE=90°， ∴△DOE是等腰直角三角形．故①正确． ②正确．∵∠DCE+∠DOE=180°， ∴D、C、E、O四点共圆， ∴∠CDE=∠COE，故②正确． ③正确．∵AC=BC=1， ∴S△ABC=×1×1=，S四边形DCEO=S△DOC+S△CEO=S△CDO+S△ADO=S△AOC=S△ABC=， 故③正确． ④正确．∵D、C、E、O四点共圆， ∴OP•PC=DP•PE， ∴2OP2+2DP•PE=2OP2+2OP•PC=2OP（OP+PC）=2OP•OC， ∵∠OEP=∠DCO=∠OCE=45°，∠POE=∠COE， ∴△OPE∽△OEC， ∴=， ∴OP•OC=OE2， ∴2OP2+2DP•PE=2OE2=DE2=CD2+CE2， ∵CD=BE，CE=AD， ∴AD2+BE2=2OP2+2DP•PE， ∴AD2+BE2﹣2OP2=2DP•PE． 故④正确． 　

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