题目

证明任意一对三角形面积之比等于它们的平行射影面积之比. 答案：思路分析:我们可以按照从特殊到一般的证明思路.首先证明三角形与其投影具有两公共顶点.然后再证一般情况.证明:(1)如图3-1-7,△A1B1C1与△A2B2C2和△A1′B1′C1′、△A2′B2′C2′各有两对对应顶点A1和A1′,B1和B1′,A2和A2′,B2和B2′重合,在两平面的交线g上.图3-1-7∵C1与C1′,C2与C2′是射影对应点,∴C1C1′∥C2C2′.由这些点向对应轴直线g作垂线C1H1,C1′H1′,C2H2,C2′H2′.设C1C2与C1′C2′相交于直线g上一点x,由相似三角形得=,=.∵C1C1′∥C2C2′,∴===k时,==k.又∵△A1B1C1与△A1′B1′C1′同底,△A2B2C2与△A2′B2′C2′同底,∴或=k,其中k为常数.(2)当三角形与其射影没有公共顶点时,如图3-1-8.图3-1-8在△A1B1C1与其射影A1′B1′C1′中,三对对应边相交于对应轴g上.由(1)中结论知:=k,即=k.=k,即=k.=k,即=k.∴=+-=k+k-k=k(+-)=k.∴=k.同理,=k,∴.

查看本题答案和解析