题目

如图，正方形ABCD的边长为1，P，Q分别为AB，DA上动点，且△APQ的周长为2，设 AP=x，AQ=y． （1）求x，y之间的函数关系式y=f（x）； （2）判断∠PCQ的大小是否为定值？并说明理由； （3）设△PCQ的面积分别为S，求S的最小值． 　 答案：【考点】基本不等式在最值问题中的应用；函数解析式的求解及常用方法． 【专题】综合题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；不等式． 【分析】（1）由已知可得PQ=2﹣x﹣y，根据勾股定理有（2﹣x﹣y）2=x2+y2，即可求x，y之间的函数关系式y=f（x）； （2）求得∴∠DCQ+∠BCP=，即可判断∠PCQ的大小； （3）表示△PCQ的面积，利用基本不等式求S的最小值． 【解答】解：（1）由已知可得PQ=2﹣x﹣y，根据勾股定理有（2﹣x﹣y）2=x2+y2，… 化简得：y=（0＜x＜1）… （2）tan∠DCQ=1﹣y，tan∠BCP=1﹣x，… tan（∠DCQ+∠BCP）==1   … ∵∠DCQ+∠BCP∈（0，）， ∴∠DCQ+∠BCP=， ∴∠PCQ=﹣（∠DCQ+∠BCP）=，（定值） … （3）S=1﹣﹣（1﹣x）﹣（1﹣y）=（x+y﹣xy）=• … 令t=2﹣x，t∈（1，2）， ∴S=•（t+）﹣1， ∴t=时，S的最小值为﹣1．   … 【点评】本题考查三角函数知识，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

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