题目

如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CP＝m. (1) 若m＝1，求异面直线AP与BD1所成角的余弦值； (2) 是否存在实数m，使直线AP与平面AB1D1所成角的正弦值是？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由． 答案： (1) 建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，1，0)，P(0，1，m)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，B1(1，1，2)，D1(0，0，2)． 所以  ＝(－1，－1，2)， ＝(－1，1，1)．  ， 即异面直线AP与BD1所成角的余弦是. (2) 假设存在实数m，使直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于，则 ＝(1，1，0)，＝(－1，0，2)，＝(－1，1，m)． 设平面AB1D1的法向量为n＝(x，y，z)， 则由 得 取x＝2，得平面AB1D1的法向量为n＝(2，－2，1)． 由直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于，得 ， 解得m＝. 因为0≤m≤2，所以m＝满足条件， 所以当m＝时，直线AP与平面AB1D1所成的角的正弦值等于.

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