题目

设=，=（4sinx，cosx﹣sinx），f（x）=•． （1）求函数f（x）的解析式； （2）已知常数ω＞0，若y=f（ωx）在区间是增函数，求ω的取值范围； （3）设集合A=，B={x||f（x）﹣m|＜2}，若A⊆B，求实数m的取值范围． 答案：【考点】正弦函数的单调性；集合的包含关系判断及应用；平面向量数量积的运算． 【专题】综合题；转化思想． 【分析】（1）通过数量积的计算，利用二倍角公式化简函数的表达式，化为一个角的一个三角函数的形式，即可． （2）结合正弦函数的单调增区间，y=f（ωx）在区间是增函数，说明⊆．求出ω的取值范围； （3）简化集合B，利用A⊆B，得到恒成立的关系式，求出实数m的取值范围． 【解答】解：（1）f（x）=sin2•4sinx+（cosx+sinx）•（cosx﹣sinx） =4sinx•+cos2x =2sinx（1+sinx）+1﹣2sin2x=2sinx+1， ∴f（x）=2sinx+1． （2）∵f（ωx）=2sinωx+1，ω＞0． 由2kπ﹣≤ωx≤2kπ+， 得f（ωx）的增区间是，k∈Z． ∵f（ωx）在上是增函数， ∴⊆． ∴﹣≥﹣且≤， ∴． （3）由|f（x）﹣m|＜2，得﹣2＜f（x）﹣m＜2，即f（x）﹣2＜m＜f（x）+2． ∵A⊆B，∴当≤x≤时， 不等式f（x）﹣2＜m＜f（x）+2恒成立， ∴f（x）max﹣2＜m＜f（x）min+2， ∵f（x）max=f（）=3，f（x）min=f（）=2， ∴m∈（1，4）． 【点评】本题是中档题，以向量的数量积为平台，考查三角函数的基本公式的应用，函数的单调性，以及函数的值域的求值范围，恒成立的应用，考查计算能力，转化思想． 　

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