题目

如图1，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），点P是抛物线上一动点，试过点P作x轴的垂线1，再过点A作1的垂线，垂足为Q，连接AP． （1）求抛物线的函数表达式和点C的坐标； （2）若△AQP∽△AOC，求点P的横坐标； （3）如图2，当点P位于抛物线的对称轴的右侧时，若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q′，请直接写出当点Q′落在坐标轴上时点P的坐标． 答案：【解答】解：（1）把A（0，4），B（4，0）分别代入y＝﹣x2+bx+c得，解得， ∴抛物线解析式为y＝﹣x2+3x+4， 当y＝0时，﹣x2+3x+4＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4， ∴C（﹣1，0）； 故答案为y＝﹣x2+3x+4；（﹣1，0）； （2）∵△AQP∽△AOC， ∴＝， ∴＝＝＝4，即AQ＝4PQ， 设P（m，﹣m2+3m+4）， ∴m＝4|4﹣（﹣m2+3m+4|，即4|m2﹣3m|＝m， 解方程4（m2﹣3m）＝m得m1＝0（舍去），m2＝，此时P点坐标为（，）； 解方程4（m2﹣3m）＝﹣m得m1＝0（舍去），m2＝，此时P点坐标为（，）； 综上所述，点P的坐标为（，）或（，）； （3）设P（m，﹣m2+3m+4）（m＞）， 当点Q′落在x轴上，延长QP交x轴于H，如图2， 则PQ＝4﹣（﹣m2+3m+4）＝m2﹣3m， ∵△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q'， ∴∠AQ′P＝∠AQP＝90°，AQ′＝AQ＝m，PQ′＝PQ＝m2﹣3m， ∵∠AQ′O＝∠Q′PH， ∴Rt△AOQ′∽Rt△Q′HP， ∴＝，即＝，解得Q′B＝4m﹣12， ∴OQ′＝m﹣（4m﹣12）＝12﹣3m， 在Rt△AOQ′中，42+（12﹣3m）2＝m2， 整理得m2﹣9m+20＝0，解得m1＝4，m2＝5，此时P点坐标为（4，0）或（5，﹣6）； 当点Q′落在y轴上，则点A、Q′、P、Q所组成的四边形为正方形， ∴PQ＝AQ′， 即|m2﹣3m|＝m， 解方程m2﹣3m＝m得m1＝0（舍去），m2＝4，此时P点坐标为（4，0）； 解方程m2﹣3m＝﹣m得m1＝0（舍去），m2＝2，此时P点坐标为（2，6）， 综上所述，点P的坐标为（4，0）或（5，﹣6）或（2，6） 【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和折叠的性质；会利用待定系数法求函数解析式；会运用相似三角形的性质进行几何计算；理解坐标与图形性质．会运用分类讨论的思想解决数学问题．

查看本题答案和解析