题目

已知平面向量a=(,)，b=()．若存在不为零的实数m，使得c=a+2xb，d=-ya+(m-2x2)b，且c⊥d．    (Ⅰ)试求函数y=f(x)的表达式；    (Ⅱ)若m∈0(0，+∞)，当f(x)在区间[0，1]上的最大值为12时，求此时m的值． 答案：答案：解：(Ⅰ)∵a·b==0，∴a⊥b．∵c⊥d，∴c·d=0，又知a2=1，b2=1．  ∴c·d=(a+2xb)·[-ya+(m-2x2)b]=-y·a2+2x(m-2x2)·b2-2xya·b+(m-2x2)a·b=-y+2x(m-2x2)=0．∴y=2mx-4x3，故f(x)=2mx-4x3． (Ⅱ)f(x)=2mx-4x3，则f′(x)=2m-12x2，其中m＞0， 由f′(x)=2m-12x2=0，解得x=. 当0≤x＜时，f′(x)＞0，f(x)在[0，]上单调递增；当x＞时，f′(x)＜0，f(x)在(，+∞)上单调递减．  ①若≥1，即m≥6，则f(x)在[0，1]上单调递增，此时f(x)在区间[0，1]上的最大值f(x)max=f(1)=2m-4=12，解得m=8满足条件.②若＜1，即0＜m＜6，则f(x)在[0，]上单调递增，在(，1)上单调递减，则f(x)在区间[0，1]上的最大值f(x)max=f()=2·m-4()3=12，解得m3=486，m=3＞6，不满足0＜m＜6，舍去．综上所述，存在常数m=8，使函数f(x)在区间[0，1]上的最大值为12．

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