题目

过点B(0,-a)作双曲线x2-y2=a2右支的割线BCD,又过右焦点F作平行于BD的直线,交双曲线于G、H两点.(1)求证:(2)设M为弦CD的中点,S△MBF= a2,求割线BD的倾斜角. 答案：(1)证明:当a＞0时,设割线的倾斜角为α,则它的参数方程为(t为参数).                 ①则过焦点F且平行于BD的直线GH的参数方程为(t为参数).                         ②将①代入双曲线方程,得t2cos2α+2atsinα-2a2=0.设方程的解为t1、t2,则有BC·BD=t1t2=-,同理,GF·FH=-FG·FH=-∴=2.同理,当a＜0时也得上述结果.(2)解:当a＞0时,首先确定割线BD的倾斜角的范围,显然1＜tanα＜,于是,BM=设F到BD的距离为d,则d=∴tanα=或tanα=-(舍去).∴α=arctan.同理,当a＜0时,-＜tanα＜-1,可求得tanα=-,∴α=π-arctan.∴BD的倾斜角为arctan(a＞0)或π-arctan(a＜0).

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