题目

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，线段AD是BC边上的中线．【小题1】如图(Ⅰ)，将△ADC沿直线BC平移，使点D与点C重合，得到△FCE，连结AF．求证：四边形ADEF是等腰梯形；【小题2】如图(Ⅱ)，在（1）的条件下，再将△FCE绕点C顺时针旋转，设旋转角为（0°<<90°）连结AF、DE．AC⊥CF时，求旋转角的度数；②当=60°时，请判断四边形ADEF的形状，并给予证明． 答案：【小题1】证明：∵△ADC沿直线BC平移得到△FCE，∴AD∥FC，且AD=FC，∴四边形ADCF是平行四边形，∴AF∥DC，即AF∥DE，------------------------------------------------1分∵∠BAC=90°，∠B=30°，∴∠ACD=60°，∵AD是BC边上的中线，∴AD=DC，-------------------------------2分∴△ADC是等边三角形，------------------------------------------------3分∵△ADC≌△FCE，∴△FCE是等边三角形，∴AD=FE，------------------------------------------------------------------4分∵AF≠DE，∴四边形ADEF是等腰梯形．--------------------------5分【小题2】①解：由（1）可知∠1=60°，-----------------6分当AC⊥CF时，∠2=90°-60°=30°，∴旋转角的度数为30°，----------------------------------7分②四边形ADEF为矩形，----------------------------------8分由（1）可知△ADC和△FCE是全等正三角形，∴CA=CE=CD=CF，---------------------9分当=60°时，如图（Ⅲ），∠ACF=60°+60°=120°，∴∠ACE="120°+60°=180°" ，∴A、C、E三点共线，同理：D、C、F三点共线，--------10分∴AE=DF，---------11分∴四边形ADEF为矩形．----------------------12分解析:利用平移的性质、全等三角形和矩形的判定求证

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