题目

如图，是⊙O的直径，是⊙O的切线，交⊙O于点E． （1）若D为的中点，证明：是⊙O的切线； （2）若，，求⊙O的半径的长． 答案：（1）证明见解析；（2）⊙O的半径的长为4 【解析】（1）连接AE和OE，由直角三角形的性质和圆周角定理易得∠OED=90°，可得DE是⊙O的切线； （2）在Rt△ACE中求得AE的长，证得Rt△ABERt△CAE，利用对应边成比例即可求解． 【详解】（1）连接AE，OE， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=90°， ∵AC是圆⊙O的切线， ∴AC⊥AB， 在直角△AEC中， ∵D为AC的中点， ∴DE=DC=DA， ∴∠DEA=∠DAE， ∵OE=OA， ∴∠OEA=∠OAE， ∵∠DAE+∠OAE=90°， ∴∠DEA+∠OEA=∠DEO=90°， ∴OE⊥DE， ∴DE 是⊙O的切线； （2）∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB=∠AEC=90°， 在Rt△ACE中， CA=6， CE=3.6=， ∴AE=， ∴∠B+∠EAB=90°， ∵∠CAE+∠EAB=90°， ∴∠B=∠CAE， ∴Rt△ABERt△CAE， ∴，即， ∴， ∴⊙O的半径OA=． 【点睛】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的应用，掌握切线的判定定理、相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．

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