题目

设数列{an}满足a1＝3，an＋1＝a－2nan＋2(n＝1,2,3，…)． (1)求a2，a3，a4的值，并猜想数列{an}的通项公式(不需证明)． (2)记Sn为数列{an}的前n项和，试求使得Sn<2n成立的最小正整数n，并给出证明． 答案： (1)解：a2＝a－2a1＋2＝5，a3＝a－2×2a2＋2＝7，a4＝a－2×3a3＋2＝9， 猜想an＝2n＋1(n∈N＋)． (2)证明：Sn＝＝n2＋2n(n∈N＋)， 使得Sn<2n成立的最小正整数n＝6. 下证：当n≥6(n∈N＋)时都有2n>n2＋2n. ①当n＝6时，26＝64,62＋2×6＝48,64>48，命题成立． ②假设n＝k(k≥6，k∈N＋)时，2k>k2＋2k成立，那么2k＋1＝2·2k>2(k2＋2k) ＝k2＋2k＋k2＋2k>k2＋2k＋3＋2k＝(k＋1)2＋2(k＋1)，即n＝k＋1时，不等式成立； 由①②可得，对于所有的n≥6(n∈N＋) 都有2n>n2＋2n成立．

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