题目

已知抛物线y=ax2-1上存在关于直线l:x+y=0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围. 答案：解法一：设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P(x1，y1)、Q(x2,y2),线段PQ的中点为M(x0,y0),设直线PQ的方程为y=x+b,由于P、Q两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，即得方程ax2-x-(1+b)=0.            ①    判别式Δ=1+4a(1+b)＞0.                       ②    由①得x0==,y0=x0+b=+b.    ∵M∈l,∴0=x0+y0=++b,即b=-,代入②解得a＞.解法二：设同解法一，由题意得        将①②代入③④，并注意到a≠0,x1-x2≠0,    得    由二元均值不等式易得    2(x12+x22)＞(x1+x2)2(x1≠x2).    将⑤⑥代入上式得    2(-+)＞()2,解得a＞.解法三：同解法二，由①-②，得    y1-y2=a(x1+x2)(x1-x2).    ∵x1-x2≠0,    ∴a(x1+x2)==1.    ∴x0==.    ∵M(x0,y0)∈l,    ∴y0+x0=0,即y0=-x0=-,从而PQ的中点M的坐标为（,-）.    ∵M在抛物线内部，    ∴a()2-(-)-1＜0.    解得a＞.(舍去a＜0，为什么?).

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