题目

（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分．） 如题（19）图，在四面体中，平面平面，，，．    （Ⅰ）若，，求四面体的体积；    （Ⅱ）若二面角为，求异面直线与所成角的余弦值． 答案：（本题12分）    （I）解：如答（19）图1，设F为AC的中点，由于AD=CD，所以DF⊥AC. 故由平面ABC⊥平面ACD，知DF⊥平面ABC， 即DF是四面体ABCD的面ABC上的高， 且DF=ADsin30°=1，AF=ADcos30°=. 在Rt△ABC中，因AC=2AF=，AB=2BC， 由勾股定理易知 故四面体ABCD的体积    （II）解法一：如答（19）图1，设G，H分别为边CD，BD的中点，则FG//AD，GH//BC，从而∠FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角.     设E为边AB的中点，则EF//BC，由AB⊥BC，知EF⊥AB.又由（I）有DF⊥平面ABC，     故由三垂线定理知DE⊥AB. 所以∠DEF为二面角C—AB—D的平面角，由题设知∠DEF=60° 设 在 从而 因Rt△ADE≌Rt△BDE，故BD=AD=a，从而，在Rt△BDF中，， 又从而在△FGH中，因FG=FH，由余弦定理得 因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为 解法二：如答（19）图2，过F作FM⊥AC，交AB于M，已知AD=CD， 平面ABC⊥平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直，以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系F—xyz. 不妨设AD=2，由CD=AD，∠CAD=30°，易知点A，C，D的坐标分别为 显然向量是平面ABC的法向量. 已知二面角C—AB—D为60°， 故可取平面ABD的单位法向量， 使得 设点B的坐标为，有 易知与坐标系的建立方式不合，舍去. 因此点B的坐标为所以 从而 故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为

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