题目

设抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点,点C在抛物线的准线上,且BC∥x轴,求证:AC经过原点. 答案：分析：证明直线AC经过原点O,即证明A、O、C三点共线.证明三点共线的方法比较多,有斜率法、方程法、距离法、向量法等.证法一：①当直线AB的斜率存在时,如图,因为抛物线y2=2px(p＞0)的焦点为F(,0),所以经过点F的直线AB的方程可设为x=my+.代入抛物线的方程,得y2-2pmy-p2=0.设A、B两点的坐标分别是(x1,y1)、(x2,y2),则y1、y2是上述方程的两个实根,所以y1y2=-p2.因为BC∥x轴,且点C在准线x=-上,所以点C的坐标为(-,y2),直线CO的斜率为即k也是直线OA的斜率,所以直线AC经过原点O.②当直线AB不存在斜率时,直线AB的方程为x=.代入抛物线的方程,得y2=p2,因为点A的坐标为(,p),点B的坐标为(,-p),因为BC∥x轴,且点C在准线x=-上,所以点C的坐标为(-,-p),所以因为∴A、O、C三点共线.所以直线AC经过原点O.综合①②,直线AC经过原点O.证法二：如图,记x轴与抛物线的准线l的交点为E,过A作AD⊥l,D是垂足,则AD∥FE∥BC.连结AC,与EF相交于点N,则根据抛物线的几何性质,有|AF|=|AD|,|BF|=|BC|,所以即点N是EF的中点,与抛物线的顶点O重合,所以直线AC经过原点O.证法三：设A(,y1)、B(,y2),由题设可知F(,0),C(-,y2),所以有由A、F、B三点共线,知∥.所以因为y1≠y2,故化简得y1·y2=-p2.又因为又直线AO与直线AC有公共点A,所以A、O、C三点共线,即直线AC经过原点O.绿色通道：(1)证法三利用两个向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)(其中b≠0)平行的充要条件a∥bx1y2-x2y1=0.(2)用平面向量解高考试题中的解析几何问题,它能够把较复杂的几何推理转化为简单的代数运算,能够充分体现数学中的数形结合思想,达到了避繁就简、化难为易、事半功倍的效果,亦为解决平面解析几何问题开辟一条新途径.

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