题目

（1）如图（1），在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B、C）上任意一点，P是BC延长线上一点，N是∠DCP的平分线上一点．若∠AMN＝90°，求证：AM＝MN．下面给出一种证明的思路，你可以按这一思路证明，也可以选择另外的方法证明．证明：在边AB上截取AE＝MC，连接ME．正方形ABCD中，∠B＝∠BCD＝90°，AB＝BC． ∴　∠NMC＝180°－ ∠AMN－ ∠AMB＝180°－ ∠B－ ∠AMB＝ ∠MAB＝∠MAE．（下面请你完成余下的证明过程）（2）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正三角形ABC”（如图（2）），N是∠ACP的平分线上一点，则当∠AMN＝60°时，结论AM＝MN是否还成立？请说明理由．（3）若将（1）中的“正方形ABCD”改为“正n边形ABCD……X”，请你作出猜想：当∠AMN＝_________°时，结论AM＝MN仍然成立．（直接写出答案，不需要证明）答案：（1）∵　AE＝MC， ∴　BE＝BM． ∴　∠BEM＝∠EMB＝45°． ∴　∠AEM＝135°． ∵　CN平分∠DCP，∠PCN＝45°， ∴　∠AEM＝∠MCN＝135°．在△AEM和△MCN中， ∵　∠AEM＝∠MCN，AE＝MC，∠EAM＝∠CMN ∴　△AEM≌△MCN． ∴　AM＝MN．（2）仍然成立．在边AB上截取AE＝MC，连接ME． ∵　△ABC是等边三角形， ∴　AB＝BC，∠B＝∠ACB＝60°． ∴　∠ACP＝120°． ∵　AE＝MC，∴　BE＝BM． ∴　∠BEM＝∠EMB＝60°． ∵　CN平分∠ACP，∴　∠PCN＝60°． ∴　∠AEM＝120°． ∴　∠AEM＝∠MCN＝120°． ∵　∠CMN＝180°－∠AMN－∠AMB＝180°－∠B－∠AMB＝∠BAM， ∴　△AEM≌△MCN．∴　AM＝MN．（3）

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