题目

已知椭圆C: +=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线x-y+=0相切,过点P(4,0)且不垂直于x轴直线l与椭圆C相交于A、B两点. (1)求椭圆C的方程; (2)求·的取值范围; (3)若B点关于x轴的对称点是E,证明:直线AE与x轴相交于定点. 答案： (1)解:由题意知e==, ∴e2===, 即a2=b2. 又b==, ∴b2=3,a2=4, 故椭圆的方程为+=1. (2)解:由题意知直线l的斜率存在, 设直线l的方程为y=k(x-4). 由 得(4k2+3)x2-32k2x+64k2-12=0. 由Δ=(-32k2)2-4(4k2+3)(64k2-12)>0, 得k2<. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则    (*) ∴y1y2=k2(x1-4)(x2-4)=k2x1x2-4k2(x1+x2)+16k2, ∴·=x1x2+y1y2 =(1+k2)·-4k2·+16k2 =25- ∵0≤k2<, ∴-≤-<-, ∴·∈. ∴·的取值范围是. (3)证明:∵B、E两点关于x轴对称, ∴E(x2,-y2). 直线AE的方程为y-y1=(x-x1), 令y=0得x=x1-, 又y1=k(x1-4),y2=k(x2-4), ∴x=. 将(*)式代入得,x=1, ∴直线AE与x轴交于定点(1,0).

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