题目

如图，设点A和B为抛物线y2=4px（p＞0）上原点以外的两个动点，已知OA⊥OB，OM⊥AB．求点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线． 　 答案：【考点】轨迹方程；抛物线的应用． 【专题】计算题． 【分析】由OA⊥OB可得A、B两点的横坐标之积和纵坐标之积均为定值，由OM⊥AB可用斜率处理，得到M的坐标和A、B坐标的联系，再注意到M在AB上，由以上关系即可得到M点的轨迹方程；此题还可以考虑设出直线AB的方程解决． 【解答】解：如图，点A，B在抛物线y2=4px上， 设，OA、OB的斜率分别为kOA、kOB． ∴ 由OA⊥AB，得① 依点A在AB上，得直线AB方程 ② 由OM⊥AB，得直线OM方程③ 设点M（x，y），则x，y满足②、③两式，将②式两边同时乘以， 并利用③式，可得﹣•（﹣）+=﹣x2+， 整理得④ 由③、④两式得 由①式知，yAyB=﹣16p2 ∴x2+y2﹣4px=0 因为A、B是原点以外的两点，所以x＞0 所以M的轨迹是以（2p，0）为圆心，以2p为半径的圆，去掉坐标原点． 【点评】本小题主要考查直线、抛物线的基础知识，考查由动点求轨迹方程的基本方法以及方程化简的基本技能．

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