题目

如图，已知双曲线y=﹣与两直线y=﹣x，y=﹣kx（k＞0，且k≠）分别相交于A、B、C、D四点． （1）当点C的坐标为（﹣1，1）时，A、B、D三点坐标分别是A（　 　，　 　），B（ 　，　　），D（　 　，　 　）． （2）证明：以点A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形． （3）当k为何值时，▱ADBC是矩形． 答案：  考点： 反比例函数综合题；两点间的距离公式；一次函数的应用；平行四边形的判定与性质；矩形的判定．  专题： 综合题． 分析： （1）由C坐标，利用反比例函数的中心对称性确定出D坐标，联立双曲线y=﹣与直线y=﹣x，求出A与B坐标即可； （2）由反比例函数为中心对称图形，利用中心对称性质得到OA=OB，OC=OD，利用对角线互相平分的四边形为平行四边形即可得证； （3）由A与B坐标，利用两点间的距离公式求出AB的长，联立双曲线y=﹣与直线y=﹣kx，表示出CD的长，根据对角线相等的平行四边形为矩形，得到AB=CD，即可求出此时k的值． 解答： 解：（1）∵C（﹣1，1），C，D为双曲线y=﹣与直线y=﹣kx的两个交点，且双曲线y=﹣为中心对称图形， ∴D（1，﹣1）， 联立得：， 消去y得：﹣x=﹣，即x2=4， 解得：x=2或x=﹣2， 当x=2时，y=﹣；当x=﹣2时，y=， ∴A（﹣2，），B（2，﹣）； 故答案为：﹣2，，2，﹣，1，﹣1；   （2）∵双曲线y=﹣为中心对称图形，且双曲线y=﹣与两直线y=﹣x，y=﹣kx（k＞0，且k≠）分别相交于A、B、C、D四点， ∴OA=OB，OC=OD， 则以点A、D、B、C为顶点的四边形是平行四边形；   （3）若▱ADBC是矩形，可得AB=CD， 联立得：， 消去y得：﹣=﹣kx，即x2=， 解得：x=或x=﹣， 当x=时，y=﹣；当x=﹣时，y=， ∴C（﹣，），D（，﹣）， ∴CD==AB==， 整理得：（4k﹣1）（k﹣4）=0， k1=，k2=4， 又∵k≠，∴k=4， 则当k=4时，▱ADBC是矩形． 点评： 此题属于反比例函数综合题，涉及的知识有：坐标与图形性质，一次函数与反比例函数的交点，平行四边形，矩形的判定，两点间的距离公式，以及中心图形性质，熟练掌握性质是解本题的关键．

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