题目

已知函数f（x）=ax3﹣bx2+cx+b﹣a（a＞0）． （1）设c=0． ①若a=b，曲线y=f（x）在x=x0处的切线过点（1，0），求x0的值； ②若a＞b，求f（x）在区间[0，1]上的最大值． （2）设f（x）在x=x1，x=x2两处取得极值，求证：f（x1）=x1，f（x2）=x2不同时成立． 答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程． 【分析】（1）①计算f′（1），得出切线方程，代入点（1，0）列方程解出x0； ②求出f（x）的极值点，判断两极值点的大小及与区间[0，1]的关系，从而得出f（x）在[0，1]上的单调性，得出最大值； （2）使用反证法证明． 【解答】解：（1）当c=0时，f（x）=ax3﹣bx2+b﹣a． ①若a=b，则f（x）=ax3﹣ax2， 从而f'（x）=3ax2﹣2ax， 故曲线y=f（x）在x=x0处的切线方程为=． 将点（1，0）代入上式并整理得=x0（1﹣x0）（3x0﹣2）， 解得x0=0或x0=1． ②若a＞b，则令f'（x）=3ax2﹣2bx=0，解得x=0或． （ⅰ）若b≤0，则当x∈[0，1]时，f'（x）≥0， ∴f（x）为区间[0，1]上的增函数， ∴f（x）的最大值为f（1）=0． （ ii）若b＞0，列表： x 0 （0，） （，1） 1 f′（x）  0 ﹣  0 + f（x）  b﹣a＜0  减函数  极小值  增函数  0 所以f（x）的最大值为f（1）=0． 综上，f（x）的最大值为0． （2）假设存在实数a，b，c，使得f（x1）=x1与f（x2）=x2同时成立． 不妨设x1＜x2，则f（x1）＜f（x2）． 因为x=x1，x=x2为f（x）的两个极值点， 所以f'（x）=3ax2﹣2bx+c=3a（x﹣x1）（x﹣x2）． 因为a＞0，所以当x∈[x1，x2]时，f'（x）≤0， 故f（x）为区间[x1，x2]上的减函数， 从而f（x1）＞f（x2），这与f（x1）＜f（x2）矛盾， 故假设不成立． 既不存在实数a，b，c，使得f（x1）=x1，f（x2）=x2同时成立．

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