题目

已知△ABC是等腰三角形，AB=AC． （1）特殊情形：如图1，当DE∥BC时，有DB　　　　　　EC．（填“＞”，“＜”或“=”） （2）发现探究：若将图1中的△ADE绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）到图2位置，则（1）中的结论还成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）拓展运用：如图3，P是等腰直角三角形ABC内一点，∠ACB=90°，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数． 答案：【考点】几何变换综合题． 【分析】（1）由DE∥BC，得到，结合AB=AC，得到DB=EC； （2）由旋转得到的结论判断出△DAB≌△EAC，得到DB=CE； （3）由旋转构造出△CPB≌△CEA，再用勾股定理计算出PE，然后用勾股定理逆定理判断出△PEA是直角三角形，在简单计算即可． 【解答】解：（1）∵DE∥BC， ∴， ∵AB=AC， ∴DB=EC， 故答案为=， （2）成立． 证明：由①易知AD=AE， ∴由旋转性质可知∠DAB=∠EAC， 在△DAB和△EAC中 得 ∴△DAB≌△EAC， ∴DB=CE， （3）如图， 将△CPB绕点C旋转90°得△CEA，连接PE， ∴△CPB≌△CEA， ∴CE=CP=2，AE=BP=1，∠PCE=90°， ∴∠CEP=∠CPE=45°， 在Rt△PCE中，由勾股定理可得，PE=2， 在△PEA中，PE2=（2）2=8，AE2=12=1，PA2=32=9， ∵PE2+AE2=AP2， ∴△PEA是直角三角形 ∴∠PEA=90°， ∴∠CEA=135°， 又∵△CPB≌△CEA ∴∠BPC=∠CEA=135°． 　

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