题目

如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA、OC分别在y轴和x轴的正半轴上，且长分别为m、4m（m＞0），D为边AB的中点，一抛物线l经过点A、D及点M（﹣1，﹣1﹣m）． （1）求抛物线l的解析式（用含m的式子表示）； （2）把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处，连接OA′并延长与线段BC的延长线交于点E，若抛物线l与线段CE相交，求实数m的取值范围； （3）在满足（2）的条件下，求出抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标． 答案：考点： 二次函数综合题． 分析： （1）设抛物线l的解析式为y=ax2+bx+c，将A、D、M三点的坐标代入，运用待定系数法即可求解； （2）设AD与x轴交于点M，过点A′作A′N⊥x轴于点N．根据轴对称及平行线的性质得出DM=OM=x，则A′M=2m﹣x，OA′=m，在Rt△OA′M中运用勾股定理求出x，得出A′点坐标，运用待定系数法得到直线OA′的解析式，确定E点坐标（4m，﹣3m），根据抛物线l与线段CE相交，列出关于m的不等式组，求出解集即可； （3）根据二次函数的性质，结合（2）中求出的实数m的取值范围，即可求解． 解答： 解：（1）设抛物线l的解析式为y=ax2+bx+c， 将A（0，m），D（2m，m），M（﹣1，﹣1﹣m）三点的坐标代入， 得，解得， 所以抛物线l的解析式为y=﹣x2+2mx+m； （2）设AD与x轴交于点M，过点A′作A′N⊥x轴于点N． ∵把△OAD沿直线OD折叠后点A落在点A′处， ∴△OAD≌△OA′D，OA=OA′=m，AD=A′D=2m，∠OAD=∠OA′D=90°，∠ADO=∠A′DO， ∵矩形OABC中，AD∥OC， ∴∠ADO=∠DOM， ∴∠A′DO=∠DOM， ∴DM=OM． 设DM=OM=x，则A′M=2m﹣x， 在Rt△OA′M中，∵OA′2+A′M2=OM2， ∴m2+（2m﹣x）2=x2， 解得x=m． ∵S△OA′M=OM•A′N=OA′•A′M， ∴A′N==m， ∴ON==m， ∴A′点坐标为（m，﹣m）， 易求直线OA′的解析式为y=﹣x， 当x=4m时，y=﹣×4m=﹣3m， ∴E点坐标为（4m，﹣3m）． 当x=4m时，﹣x2+2mx+m=﹣（4m）2+2m•4m+m=﹣8m2+m， 即抛物线l与直线CE的交点为（4m，﹣8m2+m）， ∵抛物线l与线段CE相交， ∴﹣3m≤﹣8m2+m≤0， ∵m＞0， ∴﹣3≤﹣8m+1≤0， 解得≤m≤； （3）∵y=﹣x2+2mx+m=﹣（x﹣m）2+m2+m，≤m≤， ∴当x=m时，y有最大值m2+m， 又∵m2+m=（m+）2﹣， ∴当≤m≤时，m2+m随m的增大而增大， ∴当m=时，顶点P到达最高位置，m2+m=（）2+=， 故此时抛物线l顶点P到达最高位置时的坐标为（，）． 点评： 本题是二次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，轴对称的性质，勾股定理，两个函数交点坐标的求法，二次函数、矩形的性质，解不等式组等知识，综合性较强，有一定难度．（2）中求出A′点的坐标是解题的关键．

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