题目

(本小题满分14分)  已知数列，满足，其中. （Ⅰ）若，求数列的通项公式； （Ⅱ）若，且. （ⅰ）记，求证：数列为等差数列； （ⅱ）若数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. 求应满足的条件. 答案：【解析】（Ⅰ）当时，有  …………2分 .                              ………………3分 又因为也满足上式，所以数列的通项为.………………4分 （Ⅱ）由题设知：，对任意的有得，                  于是又，   故 ………………5分    ∴，， （ⅰ） ， 所以数列为等差数列.       ………………7分 （ⅱ）设，（其中为常数且），所以 所以数列均为以7为公差的等差数列.                    ………………9分 设， （其中，为中的一个常数）， 当时，对任意的有；                 ………………10分 由知；此时重复出现无数次. 当时， ………………11分 ①若，则对任意的有，所以数列为单调减数列； ②若，则对任意的有，所以数列为单调增数列； ………………12分  均为单调数列，任意一个数在这6个数列中最多各出现一次， 即数列中任意一项的值最多出现六次. 综上所述：当时，数列中必有某数重复出现无数次. 当时，数列中任意一项的值均未在该数列中重复出现无数次. ………14分

查看本题答案和解析