题目

22.已知函数f(x)(x∈R)满足下列条件：对任意的实数x1、x2，都有λ(x1－x2)2≤(x1－x2)［f(x1)－f(x2)］和|f(x1)－f(x2)|≤|x1－x2|,其中λ是大于0的常数.设实数a0、a、b满足f(a0)=0和b=a－λf(a).(Ⅰ)证明：λ≤1，并且不存在b0≠a0，使得f(b0)=0;(Ⅱ)证明：(b－a0)2≤(1－λ2)(a－a0)2;(Ⅲ)证明：［f(b)］2≤(1－λ2)［f(a)］2. 答案：22.本小题主要考查函数、不等式等基本知识，以及综合运用数学知识解决问题的能力.     证明: (Ⅰ)任取x1、x2∈R,x1≠x2,则由λ(x1－x2)2≤(x1－x2)［f(x1)－f(x2)］                          ①和|f(x1)－f(x2)|≤|x1－x2|                                              ②可知λ(x1－x2)2≤(x1－x2)［f(x1)－f(x2)］=|x1－x2|·|f(x1)－f(x2)|≤|x1－x2|2,从而　λ≤1.假设有b0≠a0,使得f(b0)=0成立,则由①知0＜λ(a0－b0)2≤(a0－b0)［f(a0)－f(b0)］=0，矛盾.∴不存在b0≠a0,使得f(b0)=0.(Ⅱ)由            b=a－λf(a).                                            ③可知(b－a0)2=［a－a0－λf(a)］2=(a－a0)2－2λ(a－a0)f(a)+λ2［f(a)］2.                        ④由f(a0)=0和①式，得(a－a0)f(a)=(a－a0)［f(a)－f(a0)］≥λ(a－a0)2              ⑤由f(a0)=0和②式知，［f(a)］2＝［f(a)－f(a0)］2≤(a－a0)2.                          ⑥则将⑤、⑥式代入④式，得(b－a0)2≤(a－a0)2－2λ2 (a－a0)2+λ2·(a－a0)2=(1－λ2)(a－a0)2.(Ⅲ)由③式，可知［f(b)］2=［f(b)－f(a)+f(a)］2=［f(b)－f(a)］2+2f(a)［f(b)－f(a)］+［f(a)］2            ≤(b－a)2－2·［f(b)－f(a)］+［f(a)］2                        （用②式）=λ2［f(a)］2－ (b－a)［f(b)－f(a)］+［f(a)］2≤λ2［f(a)］2－·λ·(b－a)2+［f(a)］2                            （用①式）=λ2［f(a)］2－2λ2［f(a)］2+［f(a)］2=(1－λ2)·［f(a)］2.

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