题目

如图，四棱锥中，，，侧面为等边三角形， （Ⅰ）证明：; （Ⅱ）求与平面所成角的正弦值． 答案：解法一：    （I）取AB中点E，连结DE，则四边形BCDE为矩形，DE=CB=2，     连结SE，则 又SD=1，故，     所以为直角。  …………3分     由，     得平面SDE，所以。  SD与两条相交直线AB、SE都垂直。     所以平面SAB。        …………6分    （II）由平面SDE知， 平面平面SED。     作垂足为F，则SF平面ABCD，     作，垂足为G，则FG=DC=1。  连结SG，则， 又，   故平面SFG，平面SBC平面SFG。      …………9分     作，H为垂足，则平面SBC。     ，即F到平面SBC的距离为     由于ED//BC，所以ED//平面SBC，E到平面SBC的距离d也有     设AB与平面SBC所成的角为α，   则-----------------12分 解法二：     以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系C—xyz。 设D（1，0，0），则A（2，2，0）、B（0，2，0）。 又设    （I），， 由得 故x=1。 由 又由 即        …………3分 于是， 所以平面SAB。           …………6分    （II）设平面SBC的法向量， 则 又 故            …………9分 取p=2得。 故AB与平面SBC所成的角正弦为----------12分

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