题目

如图,已知正四面体ABCD的棱长为a,E为AD的中点,连结CE.(1)求证:顶点A在底面BCD内的射影是△BCD的外心;(2)求AD与底面BCD所成的角;(3)求CE与底面BCD所成的角. 答案：(1)证明:如图,过A作AO⊥平面ABC,垂足为O.连结OB、OC、OD,则OB、OC、OD分别是AB、AC、AD在平面BCD内的射影.又∵AB=AC=AD,∴OB=OC=OD.∴顶点A在底面BCD内的射影O是△BCD的外心.(2)解:∵AO⊥平面BCD,连结OD,则OD为AD在平面BCD内的射影.∴∠ADO为直线AD与平面BCD所成的角.∵O为△BCD的重心,∴DO= .∴cos∠ADO=.∴∠ADO=arccos.∴AD与平面BCD所成的角为arccos.(3)解:取OD的中点F,连结EF、CF.∵E、F分别为△DAO的边AD、OD的中点,∴EF为△DAO的中位线.∴EF∥AO.又AO⊥平面BCD,∴EF⊥平面BCD.∴FC为EC在平面BCD内的射影.∴∠ECF为EC与平面BCD所成的角.在Rt△EFC中,EF=AO,而AO=,∴EF=.∵E为AD的中点,∴,∴sin∠ECF=.∴∠ECF=arcsin.∴CE与平面BCD所成的角为arcsin.

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