题目

如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是∠DAB=60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所  在平面垂直于底面ABCD，若G为AD边的中点， （1）求证：BG⊥平面PAD； （2）求证：AD⊥PB； （3）若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论. 答案：证明略 解析:（1）在菱形ABCD中，∠DAB=60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD， 又平面PAD⊥平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD=AD， 所以BG⊥平面PAD. （2）连接PG，因为△PAD为正三角形， G为AD的中点，得PG⊥AD，由（1）知BG⊥AD， PG平面PGB，BG平面PGB，PG∩BG=G， 所以AD⊥平面PGB，因为PB平面PGB， 所以AD⊥PB. （3）  当F为PC的中点时， 满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下： 取PC的中点F，连接DE、EF、DF， 在△PBC中，FE∥PB，在菱形ABCD中， GB∥DE，而FE平面DEF，DE平面DEF， EF∩DE=E，所以平面DEF∥平面PGB， 因为BG⊥平面PAD，所以BG⊥PG 又因为PG⊥AD，AD∩BG=G， ∴PG⊥平面ABCD，而PG平面PGB， 所以平面PGB⊥平面ABCD， 所以平面DEF⊥平面ABCD.

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