题目

（湖北卷理19）如图，在以点为圆心，为直径的半圆中，，是半圆弧上一点， ，曲线是满足为定值的动点的轨迹，且曲线过点. （Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线的方程； （Ⅱ）设过点的直线l与曲线相交于不同的两点、. 若△的面积不小于，求直线斜率的取值范围. 答案：解：本小题主要考查直线、圆和双曲线等平面解析几何的基础知识，考查轨迹方程的求法、不等式的解法以及综合解题能力.（满分13分） （Ⅰ）解法1：以O为原点，AB、OD所在直线分别为x轴、y轴，建立平面直角坐标系，则A（-2，0），B（2，0），D(0,2),P（），依题意得 ｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＝＜｜AB｜＝4. ∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线. 设实平轴长为a，虚半轴长为b，半焦距为c，则c＝2，2a＝2，∴a2=2,b2=c2-a2=2. ∴曲线C的方程为. 解法2：同解法1建立平面直角坐标系，则依题意可得｜MA｜-｜MB｜=｜PA｜-｜PB｜＜ ｜AB｜＝4.∴曲线C是以原点为中心，A、B为焦点的双曲线. 设双曲线的方程为＞0，b＞0）. 则由　 解得a2=b2=2, ∴曲线C的方程为 (Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理得（1-k2）x2-4kx-6=0. ∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F，                        ② 设E（x，y），F(x2,y2)，则由①式得x1+x2=,于是 ｜EF｜＝ ＝ 而原点O到直线l的距离d＝， ∴S△DEF= 若△OEF面积不小于2,即S△OEF，则有         ③ 综合②、③知，直线l的斜率的取值范围为  解法2：依题意，可设直线l的方程为y＝kx+2，代入双曲线C的方程并整理， 得（1-k2）x2-4kx-6=0. ∵直线l与双曲线C相交于不同的两点E、F， ∴..   ② 设E(x1,y1),F(x2,y2),则由①式得 ｜x1-x2｜=           ③ 当E、F在同一去上时（如图1所示）， S△OEF＝ 当E、F在不同支上时（如图2所示）. S△ODE= 综上得S△OEF＝于是 由｜OD｜＝2及③式，得S△OEF= 若△OEF面积不小于2      　④ 综合②、④知，直线l的斜率的取值范围为

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