题目

设a1,a2,a3,…,an∈R且0＜an＜1(n∈N*),求证：a1a2a3…an＞a1+a2+…+an+1-n(n≥2,n∈N*). 答案：证明:①n=2时，∵（1-a1）(1-a2)＞0,∴a1a2＞a1+a2+1-(1+1)成立.②设n=k(n≥2)时原不等式成立，即a1a2…ak＞a1+a2+…+ak+1-k成立，则a1a2…ak+ak+1-1＞a1+a2+…+ak+ak+1+1-(k+1)成立.∴要证明n=k+1时原不等式成立，即a1a2…akak+1＞a1+a2+…+ak+1+1-(k+1)成立,只需证明不等式a1a2…akak+1＞a1a2…ak+ak+1-1(*)成立.要证明不等式（*）成立，只需证明(a1a2…ak-1)(ak+1-1)＞0.又∵0＜ai＜1(i=1,2，…,k,k+1)恒成立，∴0＜a1a2…ak＜1.∴(a1a2…ak-1)(ak+1-1)＞0成立.∴不等式(*)也成立，即n=k+1时原不等式成立.由①②可知对于任何n∈N*（n≥2）原不等式成立.

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