题目

在平面直角坐标系中，把与轴交点相同的二次函数图像称为“共根抛物线”．如图，抛物线的顶点为，交轴于点、（点在点左侧），交轴于点．抛物线与是“共根抛物线”，其顶点为．     （1）若抛物线经过点，求对应的函数表达式； （2）当的值最大时，求点的坐标； （3）设点是抛物线上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若与相似，求其“共根抛物线”的顶点的坐标． 答案：（1）；（2）点；（3）或或或 【解析】 （1）由“共根抛物线”定义可知抛物线经过抛物线与x轴交点，故根据抛物线可求AB两点坐标进而由交点式设为，将点代入，即可求出解； （2）由抛物线对称性可知PA=PB，∴，根据三角形两边之差小于第三边可知当当、、三点共线时，的值最大，而P点在对称轴为上，由此求出点P坐标； （3）根据点ABC坐标可证明△ABC为直角三角形，与相似，分两种情况讨论：当、时，分别利用对应边成比例求解即可． 【详解】 解：（1）当时，，解得，． ∴、、． 由题意得，设对应的函数表达式为， 又∵经过点， ∴， ∴． ∴对应的函数表达式为． （2）∵、与轴交点均为、， ∴、的对称轴都是直线． ∴点在直线上． ∴． 如图1，当、、三点共线时，的值最大， 此时点为直线与直线的交点． 由、可求得，直线对应的函数表达式为． ∴点．           （3）由题意可得，，，， 因为在中，，故． 由，得顶点． 因为的顶点P在直线上，点Q在上， ∴不可能是直角． 第一种情况：当时， ①如图2，当时，则得． 设，则， ∴． 由得，解得． ∵时，点Q与点P重合，不符合题意， ∴舍去，此时． ②如图3，当时，则得． 设，则． ∴． 由得，解得（舍），此时． 第二种情况：当时， ①如图4，当时，则得． 过Q作交对称轴于点M，∴． ∴．由图2可知， ∴． ∴，又，代入得． ∵点， ∴点． ②如图5，当时，则． 过Q作交对称轴于点M， ∴，则． 由图3可知，， ∴，， ∴． 又，代入得． ∵点， ∴点， 综上所述，或或或． 【点睛】 本题是二次函数的综合题，关键是根据待定系数法求解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及相似三角形的性质解答．

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