题目

如图1，△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于点D，交BC于点E（BE＞EC），且BD=2．过点D作DF∥BC，交AB的延长线于点F． （1）求证：DF为⊙O的切线； （2）若∠BAC=60°，DE=，求图中阴影部分的面积； （3）若=，DF+BF=8，如图2，求BF的长． 　 答案：【解答】证明：（1）连结OD，如图1， ∵AD平分∠BAC交⊙O于D， ∴∠BAD=∠CAD， ∴=， ∴OD⊥BC， ∵BC∥EF， ∴OD⊥DF， ∴DF为⊙O的切线； （2）连结OB，连结OD交BC于P，作BH⊥DF于H，如图1， ∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC， ∴∠BAD=30°， ∴∠BOD=2∠BAD=60°， ∴△OBD为等边三角形， ∴∠ODB=60°，OB=BD=2， ∴∠BDF=30°， ∵BC∥DF， ∴∠DBP=30°， 在Rt△DBP中，PD=BD=，PB=PD=3， 在Rt△DEP中，∵PD=，DE=， ∴PE==2， ∵OP⊥BC， ∴BP=CP=3， ∴CE=3﹣2=1， 易证得△BDE∽△ACE， ∴AE：BE=CE：DE，即AE：5=1：， ∴AE= ∵BE∥DF， ∴△ABE∽△AFD， ∴=，即=，解得DF=12， 在Rt△BDH中，BH=BD=， ∴S阴影部分=S△BDF﹣S弓形BD =S△BDF﹣（S扇形BOD﹣S△BOD） =•12•﹣+•（2）2 =9﹣2π； （3）连结CD，如图2，由=可设AB=4x，AC=3x，设BF=y， ∵=， ∴CD=BD=2， ∵∠F=∠ABC=∠ADC， ∵∠FDB=∠DBC=∠DAC， ∴△BFD∽△CDA， ∴=，即=， ∴xy=4， ∵∠FDB=∠DBC=∠DAC=∠FAD， 而∠DFB=∠AFD， ∴△FDB∽△FAD， ∴=，即=， 整理得16﹣4y=xy， ∴16﹣4y=4，解得y=3， 即BF的长为3． 　

查看本题答案和解析