题目

已知数列{an}满足a1=a(a≠0，且a≠1)，其前n项和Sn=(1-an).(Ⅰ)求证：{an}为等比数列；(Ⅱ)记bn=anlg(n∈ N*)，Tn为数列{bn}的前n项和.(i)当a=2时，求；(ii)当a=-时，是否存在正整数m，使得对于任意正整数n都有bn≥bm?如果存在，求出m的值；如果不存在，请说明理由. 答案：证明：(Ⅰ)当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(1-an)-(1-an-1)，整理得=a，所以{an}是公比为a的等比数列，又a1=a，所以an=an.  (Ⅱ)因为an=an,bn=anlg|an|=anlg|an|=nanlg|a|，(i)当a=2时，Tn=(2+2·22+…+n·2n)1g2，  2Tn=[22+2·23+…+(n-1)·2n+n·2n+1]lg2，  两式相减整理得Tn=2[1-(1-n)·2n]lg2.  所以，(ii)因为-1＜a＜0，所以，当n为偶数时，bn=nanlg|a|＜0；当n为奇数时，bn=nanlg|a|＞0.所以，如果存在满足条件的正整数m，则m一定是偶数.b2k+2-b2k=2a2k(a2-1)(k-)lg|a|，(k∈N*)， 当a=-时，a2-1=-，所以2a2k(a2-1)lg|a|＞0.又所以，当k＞时，b2k+2＞b2k，即b8＜b10＜b12＜…，当＜时，b2k+2＜b2k，即b8＜b6＜b4＜b2，即存在正整数m=8，使得对于任意正整数n都有bn≥b8.

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