题目

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣3，0）、B（1，0），在y轴上有一点E（0，1），连接AE． （1）求二次函数的表达式； （2）若点D为抛物线在x轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值； （3）抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标；若不存在，请说明理由． 答案：【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx﹣3经过点A（﹣3，0）、B（1，0）， ∴， 解得：， ∴二次函数解析式为y＝x2+2x﹣3； （2）设直线AE的解析式为y＝kx+b， ∵过点A（﹣3，0），E（0，1）， ∴， 解得：， ∴直线AE解析式为y＝x+1， 如图，过点D作DG⊥x轴于点G，延长DG交AE于点F， 设D（m，m2+2m﹣3），则F（m， m+1）， ∴DF＝﹣m2﹣2m+3+m+1＝﹣m2﹣m+4， ∴S△ADE＝S△ADF+S△DEF ＝×DF×AG+DF×OG ＝×DF×（AG+OG） ＝×3×DF ＝（﹣m2﹣m+4） ＝﹣m2﹣m+6 ＝﹣（m+）2+， ∴当m＝﹣时，△ADE的面积取得最大值为． （3）∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4， ∴抛物线对称轴为直线x＝﹣1， 设P（﹣1，n）， ∵A（﹣3，0），E（0，1）， ∴AP2＝（﹣1+3）2+（n﹣0）2＝4+n2，AE2＝（0+3）2+（1﹣0）2＝10，PE2＝（0+1）2+（1﹣n）2＝（n﹣1）2+1， ①若AP＝AE，则AP2＝AE2，即4+n2＝10，解得n＝±， ∴点P（﹣1，）或（﹣1，﹣）； ②若AP＝PE，则AP2＝PE2，即4+n2＝（n﹣1）2+1，解得n＝﹣1， ∴P（﹣1，﹣1）； ③若AE＝PE，则AE2＝PE2，即10＝（n﹣1）2+1，解得n＝﹣2或n＝4， ∴P（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）； 综上，点P的坐标为（﹣1，）或（﹣1，﹣）或（﹣1，﹣1）或（﹣1，﹣2）或（﹣1，4）．

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