题目

已知曲线f（x）=aex﹣x+b在x=1处的切线方程为y=（e﹣1）x﹣1 （Ⅰ）求f（x）的极值； （Ⅱ）证明：x＞0时，＜exlnx+2（e为自然对数的底数） 答案：【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出f（x）的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程，根据系数对应相等，求出a，b的值，从而求出函数的极值即可； （Ⅱ）问题等价于xln x＞xe﹣x﹣，分别令g（x）=xlnx，h（x）=xe﹣x﹣，根据函数的单调性证明即可． 【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=aex﹣1，f（1）=ae﹣1+b，f′（1）=ae﹣1， 故切线方程是：y﹣ae+1﹣b=（ae﹣1）（x﹣1）， 即y=（ae﹣1）+b=（e﹣1）x﹣1， 故a=1，b=﹣1， 故f（x）=ex﹣x﹣1，f′（x）=ex﹣1， 令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0， 故f（x）在（﹣∞，0）递减，在（0，+∞）递增， 故f（x）极小值=f（0）=0； （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）f（x﹣1）+x=ex﹣1， 故问题等价于xln x＞xe﹣x﹣ 设函数g（x）=xln x， 则g′（x）=1+ln x， 所以当x∈（0，）时，g′（x）＜0； 当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0． 故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增， 从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣， 设函数h（x）=xe﹣x﹣，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）． 所以当x∈（0，1）时，h′（x）＞0； 当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0． 故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减， 从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣； 因为gmin（x）=h（1）=hmax（x）， 所以当x＞0时，g（x）＞h（x）， 故x＞0时，＜exlnx+2．

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