题目

在△ABC中，已知A（0，1）、B（0，-1），AC、BC两边所在的直线分别与x轴交于E、F，且=4.（1）求点C的轨迹方程；（2）若，①试确定点F的坐标；②设P是点C的轨迹上的动点，猜想△PBF的周长最大时点P的位置，并证明你的猜想. 答案：解：（1）如图，设点C（x,y）(x≠0)、E（xE,0）.F(xF,0)， 由A、C、E三点共线，,xE=，同理由B、C、F三点共线可得xF=.∵=4，∴xE·xF=·=4化简得C的轨迹方程为x2+4y2=4(x≠0).（2）若，①设F（xF,0）,C(xc,yc),∴(xc,yc+1)=-8(xF-xc,-yc),∴xc=xF,yc=,代入x2+4y2=4得xF=±,∴点F（±3，0），即为椭圆的焦点.②猜想：取F（，0），设F1（-，0）是左焦点，则当点P位于直线BF1与椭圆的交点处时，△PBE周长最大为8.证明如下：∵|PF|+|PB|=4-|PF1|+|PB|≤4+|BF1|,∴△PBF的周长≤4+|BF1|+|BF|=8.

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