题目

已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为时，为正三角形. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点， （ⅰ）证明直线过定点，并求出定点坐标； （ⅱ）的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 答案：【解析】（I）由题意知 设，则FD的中点为， 因为， 由抛物线的定义知：， 解得或（舍去）. 由，解得. 所以抛物线C的方程为. （II）（ⅰ）由（I）知， 设， 因为，则， 由得，故， 故直线AB的斜率为， 因为直线和直线AB平行， 设直线的方程为， 代入抛物线方程得， 由题意，得. 设，则，. 当时，， 可得直线AE的方程为， 由， 整理可得， 直线AE恒过点. 当时，直线AE的方程为，过点， 所以直线AE过定点. 所以点B到直线AE的距离为 . 则的面积， 当且仅当即时等号成立. 所以的面积的最小值为16.

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