题目

（14分）设A．B为椭圆上的两个动点。（1）若A．B满足，其中O为坐标原点，求证：为定值；    （2）若过A．B的椭圆的两条切线的交点在直线x+2y=5上，求证直线AB恒过一个定点。 答案：解析：证明：（1）①若OA，OB的斜率都存在时，设OA方程为，代入椭圆方程，得  同理，直线OB的方程为   +②当直线OA．OB的斜率有一条存在另一条不存在时或或（2）也成立。        …………6分设，点也在椭圆上两式相减得，令得切线的斜率为，切线方程为 ，再由点A在椭圆上，得过A的切线方程为            ……8分同理过B的切线方程为：，设两切线的交点坐标为，则：，即AB的方程为：，又，消去，得：直线AB恒过定点。                    …………14分

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