题目

如图,已知两个正四棱锥P—ABCD与Q—ABCD的高分别为1和2,AB=4.(1)证明PQ⊥平面ABCD;(2)求异面直线AQ与PB所成的角;(3)求点P到平面QAD的距离. 答案：(1)证明:取AD的中点M,连结PM、QM.因为P—ABCD与Q—ABCD都是正四棱锥,所以AD⊥PM,AD⊥QM.从而AD⊥平面PQM.又PQ平面PQM,所以PQ⊥AD.同理,PQ⊥AB,所以PQ⊥平面ABCD.(2)解析:连结AC、BD,设AC∩BD=O,由PQ⊥平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上,从而P、A、Q、C四点共面.取OC的中点N,连结PN.因为,所以,从而AQ∥PN,∠BPN(或其补角)是异面直线AQ与PB所成的角.连结BN.因为PB=,所以cos∠BPN=.从而异面直线AQ与PB所成的角是arccos.(3)解析:由(1)知,AD⊥平面PQM,所以平面QAD⊥平面PQM.过P作PH⊥QM于H,则PH⊥平面QAD,所以PH的长为点P到平面QAD的距离.连结OM,因为OM=AB=2=OQ,所以∠MQP=45°.又PQ=PO+QO=3,于是PH=PQsin45°=,即点P到平面QAD的距离为.

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