题目

已知三个全等的等边三角形如图1所示放置，其中点B、C、E在同一直线上， （1）写出两个不同类型的结论； （2）连接BD，P为BD上的动点（D点除外），DP绕点D逆时针旋转60º到DQ，如图2，连接PC，QE， ①判断CP与QE的大小关系，并说明理由； ②若等边三角形的边长为2，连接AP，在BD上是否存在点P，使AP+CP+DP的值最小，并求最小值．   答案：解：（1）答案不唯一，合理即可， 如AD∥BE，四边形ABCD、ACED是菱形； 四边形ABED是等腰梯形；四边形ABED是轴对称图形；………………2分 （2）①CP＝QE；理由： ∵△AEC是等边三角形， ∴CD=DE，∠CDE＝60º， ∵DP绕点D逆时针旋转60º到DQ， ∴PD=DQ，∠PDQ＝60º， ∴∠PDQ＝∠QDE， ∴△DPC≌△DQE ∴CP＝QE。………………6分 ②连接AP，由①可知CP＝QE， ∵DP绕点D逆时针旋转60º到DQ， ∴△DPQ是等边三角形， ∴DP=DQ， 要使AP+CP+DP的值最小，关键是AP+QE+QP的值最小，即点A、P、Q、E在同一直线上（AE），构建两点之间，线段最短，过点A作AM⊥BE于点M，可得BM＝1，EM＝3，AM＝， 所以AE＝， 故在BD上存在点P，故AP+CP+DP的值最小，最小值是．…………9分

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