题目

如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，B点坐标为(3，0)，与y轴交于点C(0，3)． (1)求抛物线的解析式； (2)点P在x轴下方的抛物线上，过点P的直线y＝x＋m与直线BC交于点E，与y轴交于点F，求PE＋EF的最大值； (3)点D为抛物线对称轴上一点，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，求点D的坐标． 答案：解：(1)由题意得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3； (2)如解图①，过点P作PG∥CF交CB与点G， 第5题解图① 由题可知，直线BC的解析式为y＝－x＋3，OC＝OB＝3， ∴∠OCB＝45°. 同理可知∠OFE＝45°， ∴△CEF为等腰直角三角形， ∵PG∥CF， ∴△GPE为等腰直角三角形， ∵F(0，m)，C(0，3)， ∴CF＝3－m， ∵△CEF∽△GEP ∴EF＝CF＝(3－m), PE＝PG， 设P(t，t2－4t＋3)(1<t<3), 则G(t，－t＋3)PE＝PG＝(－t＋3－t－m)＝(－m－2t＋3)， ∵点P是直线y＝x＋m与抛物线的交点， ∴t2－4t＋3＝t＋m， ∴PE＋EF＝(3－m)＋(－m－2t＋3)＝(－2t－2m＋6)＝－(t＋m－3)＝－(t2－4t)＝ －(t－2)2＋4， ∴当t＝2时，PE＋EF最大，最大值为4； (3)由(1)知对称轴x＝2，设点D(2，n)，如解图②. 第5题解图② 当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，分两种情况讨论： (ⅰ)D在C上方D1位置时，由勾股定理得CD＋BC2＝BD，即(2－0)2＋(n－3)2＋(3)2＝(3－2)2＋(0－n)2 ，解得n＝5； (ⅱ)D在C下方D2位置时，由勾股定理得BD＋BC2＝CD， 即(2－3)2＋(n－0)2＋(3)2＝(2－0)2＋(n－3)2 ，解得n＝－1， 综上所述，当△BCD是以BC为直角边的直角三角形时，D为(2，5)或(2，－1)．

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