题目

（1）若在点处的切线与直线垂直，求实数的值； （2）求函数的单调区间； （3）讨论函数在区间上零点的个数. 答案：（1）（2）见解析（3）见解析 【解析】试题分析：由 ，直线的斜率为， 所以得出a值，（2）确定函数的单调区间 大于零或小于零解不等式即可注意当当， 时（3）由（2）可知， 当时， 在上单调递增，而，故在上没有零点； 当时， 在上单调递增，而，故在上有一个零点；只需讨论当时结合草图根据零点所在的区间逐一讨论即可 试题解析： （1）由题可知的定义域为， 因为，所以 又因为直线的斜率为， ，解得 （2）由（1）知：  ， 当时， ，所以在上单调递增； 当时，由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述：当时， 在上单调递增；当时， 在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）可知， 当时， 在上单调递增，而，故在上没有零点； 当时， 在上单调递增，而，故在上有一个零点； 当时， ①若，即时， 在上单调递减， ， 在上没有零点； ②若，即时， 在上单调递增，在上单调递减，而， ， ， 若 ，即时， 在上没有零点； 若 ，即时， 在上有一个零点； 若 ，即时，由得，此时， 在上有一个零点； 由得，此时， 在上有两个零点； ③若，即时， 在上单调递增， ， ， 在上有一个零点. 综上所述：当或时， 在上有一个零点；当或时， 在上没有零点；当时， 在上有两个零点.

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